우선 3D에 앞서 2D 회전부터 보면 (0, 1)을 반시계 방향으로 90도 돌리면 (-1, 0)이다. 이 점을 다시 90도 돌리면 (0, -1)이 되고 이것을 다시 90도 돌리면 (1, 0)이 되며 마지막으로 한 번 더 90도 돌리면 한 바퀴 돌아 다시 (0 ,1)로 돌아오게 된다.
이것을 X축은 실수 축, Y축은 허수 축으로 나타내어 a+bi 형태의 복소수라고 생각해보면 위 그림을 다시 아래와 같이 나타낼 수 있다.
복소수 특성상 i에 i를 곱하면 실수 -1이 되고 다시 차례대로 i를 곱해나가면 -i, 1, i 순으로 되어 4를 주기로 한 바퀴 돌아 다시 i로 돌아오게 된다.
이러한 방법을 이용하여 2D 회전을 표현할 수 있는데 3D 회전 또한 같은 원리에서부터 시작한다.
2D에서는 좌표를 표현하기 위해 실수 축, 허수 축으로 2개의 축을 사용했으므로 3D에서는 허수 축을 하나 더 추가하여 개별 축으로 사용하면 되지 않을까 생각해 볼 수 있다. 허수 축 j를 추가하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$a+bi+cj$